Bloque VII

Funciones Logarítmicas 

 

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f^{-1  se} utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.  Si f(x) = b^x, en lugar de usar la notación f^-1(x), se escribe log_b (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log_b(x) como el  “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión log_b(x) un logaritmo. 

Definición:  El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces

log_b y = x  si y sólo si  y = b^x.

Nota:  La notación log_b y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 5² = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamente lo expresamos de la forma log₅ 25 = 2.   De  manera que,  log₅ 25 = 2  es  equivalente a  5² = 25.  (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2)  También podemos decir que 2³ = 8 es equivalente a log₂ 8 = 3.

Nota:  El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.   De manera que, log₁₀ 3  está definido, pero el log₁₀ 0  y  log₁₀ (-5) no lo están.  Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. 

Ejemplo para discusión:  Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

Ejemplo para discusión:  Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

Solución de ecuaciones logarítmicas simples

Ejemplos para discusión:

1)  Halla el valor de x si log₃ 9 = x.

2)  Halla el valor de b si log_b 8 = 3.

3)  Halla el valor de y si log₂ y = 7.

Ejercicio de práctica: 

1)  Halla el valor de y si log₃ 27 = y.

2)  Halla el valor de b si log_b 100 = 2.

3)  Halla el valor de x si log₂ x = -3.

Propiedades de las funciones logarítimicas:  Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y  p  y  x  son números reales, entonces:

1)  log_b 1 = 0

2)  log_b b = 1

3)  log_b b^x = x

4)  log_b MN = log_b M + log_b N

6)  log_b M^p = p log_b M

7)  log_b M = log_b N  si y sólo si  M = N

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para simplificar:

1)  log₅ 1 =

2)  log₁₀ 10 =

3)  log₁₀ 0.01 =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar:

1)  log₁₀ 1 =

2)  log₅ 25 =

3)  log₁₀ 10 ^-5 =

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para expandir cada expresión:

1)  log_b 5x =

2)  log_b x⁹ =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión:

 

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

1)  log₃ (x) + log ₃ (6) =

2)  log₃ (24) - log₃ (4) =

3)  log₁₀ (x - 1) + log₁₀ (3) - 3 log₁₀ (x) =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

1)  log₁₀ (5) + log₁₀ (3) =

2)  log₃ (x + 2) - log₃ ( x - 1) =

3)  2 log₁₀ (x) + log₁₀ (y) + log₁₀ (3) =

 

Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10.  Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e.   Si  y = e^x  entonces x = log_e y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.  

Notación:

  Logaritmo común:  log x = log₁₀ x

 Logaritmo natural:    ln x = log_e x 

Ejemplo para discusión:  Usa la calculadora para hallar:

1) log 2 =

2) ln .0034 =

3) log (-3.24) =

Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:

1) log 3 =

2) ln 28.693 =

3) log(-0.438) =

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b.  En particular:

  

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

La   ecuación   2^{x - 1} = 7   representa   una   ecuación    exponencial   y   la   ecuación

log(x + 1) - log x = 3  representa una ecuación logarítmica.  Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones.

Ejemplo para discusión:  Resuelve las siguientes ecuaciones para x:

Ejercicio de práctica:  Resuelve las siguientes ecuaciones:

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones y = b^x  y  y = log_b x  para b>0  y  b diferente de uno son funciones inversas.  Así que la gráfica de  y = log_b x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica  de  y = b^x.  La gráfica de y = b^x  tiene como asíntota horizontal al eje de x  mientras  que la gráfica de  y = log_b x tiene al eje de y como asíntota vertical.

Ejemplo:

 

                             

                             y = 2^x                                                           y = log₂ x

     

Las funciones y = 2^x   y y = log₂ x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log₂ x es una reflexión de la gráfica de y = 2^x sobre la recta y = x.  El dominio de y = 2^x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero.  El dominio de y = log₂ x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.